La struttura matematica della Natura
La struttura matematica della Natura
La matematica è l’alfabeto nel quale Dio ha scritto l’universo.
Questa famosa frase di Galileo Galilei trova il suo compimento nell’osservazione delle strutture con cui si compone la natura. Dai più microscopici organismi alle manifestazioni più belle ed inverosimili di piante, animali, funghi, ecc.
La Natura ha elaborato sistemi di rappresentazione poi, che trovano nei frattali la massima perfezione ed organizzazione.
La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero, soprattutto nell’abete, ogni ramo è approssimativamente simile all’intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all’originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche in natura, come nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e fiori. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.
Frattali –
Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all’originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie.
Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento “caotico”, e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione anche non intera.
Inoltre i frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici, nella definizione di curve o insiemi e nella teoria del caos e sono spesso descritti in modo ricorsivo da algoritmi o equazioni molto semplici, scritte con l’ausilio dei numeri complessi.
Spirali –
Ritornando alla natura si nota come, ad esempio, le spirali sono alla base del mondo vivente. Tutte le volte che c’è la necessità di esporre la maggior superficie esterna possibile, ma che al contempo si presenta un limite al volume totale di materia disponibile, oppure uno svantaggio all’aumento di peso, il processo evolutivo privilegia le forme frattali. Il nucleo cellulare è costituito da una lunga catena a spirale, il DNA, riportante l’intero codice genetico. Anche la forma di certi organismi può essere a spirale (come ad esempio quella dell’Ammonite, vissuto circa trecento milioni di anni fa; Archimede ne trasse spunto per scrivere addirittura un trattato: “Sulle Spirali”). Anche nella natura inanimata scopriamo spirali (molte galassie, ad esempio, sono a forma di spirale; inclusa la nostra: La Via Lattea). Ma la cosa più interessante, nel contesto che stiamo trattando, è che le spirali sono anche alla base dei frattali. Ci sono tre tipi comuni di spirali piane, la più importante delle quali, per quanto riguarda i frattali, è la spirale logaritmica. La spirale logaritmica può essere distinta dalla spirale archimedea dal fatto che le distanze fra i bracci di una spirale logaritmica aumentano secondo una progressione geometrica, mentre in una spirale archimedea queste distanze sono costanti.
Il mondo biologico si fonda su complessi modelli matematici, non tutti ancora perfettamente noti e dedotti.
Natura matematica del mondo biologico –
La natura matematica del mondo biologico, assume forme particolarmente eleganti ed enigmatiche nel regno vegetale. Gli aspetti matematici delle piante sono stati riconosciuti da molto tempo. D’Arcy Thompson vide chiaramente che la strana numerologia del mondo vegetale ha implicazioni importanti per la biologia dello sviluppo delle piante. Grazie a ricerche contemporanee di dinamica, oggi si ha un’idea abbastanza chiara di che cosa sia implicato in tale biologia. Seguendo una tradizione ben stabilita, che ricondusse a Leonardo da Vinci (ma che ipotizzò potesse risalire ai tempi degli antichi egizi), Thompson osservò che il regno animale ha una curiosa preferenza per particolari numeri e per geometrie a spirale, e che in esso numeri e geometrie sono strettamente connessi. Si possono osservare spirali logaritmiche nella disposizione delle foglie di alcune piante, definita come fillotassi (un esempio sono l’ordinamento delle scaglie dell’ananas o la disposizione delle foglie dell’Aloe). I bracci dei cicloni tropicali, come gli uragani, formano spirali logaritmiche. In biologia, strutture approssimativamente simili alla spirale logaritmica si trovano facilmente nelle conchiglie di molti molluschi. Una cosa estremamente interessante, è che si possa costruire una spirale logaritmica approssimata con inclinazione di circa 17.03239 gradi, usando i numeri di Fibonacci o il rapporto aureo. Una spirale aurea, è una spirale logaritmica in cui il rapporto costante tra raggi consecutivi, è pari al numero aureo.
Numeri di Fibonacci –
Si nota come i numeri di Fibonacci si riscontrano un po’ ovunque in natura. In botanica ad esempio, i pistilli sulle corolle dei fiori spesso si dispongono secondo uno schema preciso formato da spirali il cui numero corrisponde ad uno della serie di Fibonacci. Di solito le spirali orientate in senso orario sono trentaquattro mentre quelle orientate in senso antiorario cinquantacinque (due numeri di Fibonacci); altre volte sono rispettivamente cinquantacinque e ottantanove, o ottantanove e centoquarantaquattro (si tratta sempre di numeri di Fibonacci consecutivi)[5]. I numeri di Fibonacci sono presenti anche nel numero di infiorescenze di ortaggi, come ad esempio il Broccolo romanesco. Le foglie delle piante sono disposte sui rami in modo tale da non coprirsi l’una con l’altra per permettere a ciascuna di esse di ricevere la luce del sole. Se prendiamo come punto di partenza la prima foglia di un ramo e contiamo quante foglie ci sono fino a quella perfettamente allineata, spesso questo numero è un numero di Fibonacci e anche il numero di giri in senso orario o antiorario, che si compiono per raggiungere tale foglia allineata, dovrebbe essere un numero di Fibonacci. Il rapporto tra il numero di foglie e il numero di giri si chiama “rapporto fillotattico”.
Fillotassi –
La fillotassi è una branca della botanica preposta allo studio ed alla determinazione dell’ordine con cui le varie entità botaniche (foglie, fiori, etc.) vengono distribuite nello spazio, conferendo una struttura geometrica alle piante. Le spirali dei coni degli abeti furono studiate nella metà del Settecento da due matematici, Charles Bonnet e G.L. Calandrini. Un contributo importante alla teoria della fillotassi fu dato intorno al 1837 dal pioniere della cristallografia Auguste Bravais e dal fratello Louis, quando scoprirono la singola regolarità più importante nell’accrescimento di una pianta: un particolare angolo, che è universale nella geometria delle piante, ovvero l’angolo di divergenza (che è di circa 137,5 gradi). Per apprezzare il significato matematico di questo numero, consideriamo due numeri consecutivi nella successione di Fibonacci, come 34 e 55; formiamo la frazione corrispondente 34/55 e moltiplichiamola per 360°. Il risultato è di circa 222,5°. Ora, noi possiamo misurare gli angoli all’esterno o all’interno, e poiché 222,5° è maggiore di 180°, dovremmo sottrarlo a 360°; otteniamo così il misterioso angolo di 137,5°. Questo particolare angolo, viene anche chiamato: angolo aureo.
Nel 1907, Gerrit van Iterson calcolò quale disposizione si otterrebbe disegnando punti successivi su una spirale avvolta strettamente ad angoli di 137,5°. Egli mostrò che, a causa del modo in cui si allineano punti vicini, si ottengono due famiglie di spirali che si compenetrano: una che si avvolge in senso orario e l’altra in senso antiorario. In considerazione dello stretto rapporto esistente fra i numeri di Fibonacci e il numero aureo, i numeri delle spirali nelle due famiglie, sono numeri di Fibonacci consecutivi (quali numeri di Fibonacci essi siano, dipende da quanto sia stretta la spirale). Nel 1979, Helmut Vogel rappresentò i semi del capolino di un girasole con dischetti circolari uguali, e calcolò quale regola di distribuzione ad intervalli (supponendo un angolo di divergenza costante) avrebbe impaccato quei dischetti nel modo più compatto possibile. Gli esperimenti eseguiti al computer mostrarono che, se l’angolo di divergenza è minore di 137,5°, nel capolino appaiono dei vuoti, e si vede solo una famiglia di spirali.
Anche nel caso opposto, ossia se l’angolo di divergenza è maggiore di 137,5°, nel capolino appaiono dei vuoti, ma questa volta si osserva solo l’altra famiglia di spirali. L’angolo aureo risulta essere quindi l’unico angolo in corrispondenza del quale i semi si impaccano senza lasciare vuoti; e quando lo fanno si vedono simultaneamente entrambe le famiglie di spirali. Il matematico britannico Ian Stewart, nel suo libro “L’altro segreto della vita”, afferma che: “Se, su un mondo lontano, con un tipo di vita del tutto diverso (e una genetica non fondata sul DNA), avessero avuto origine organismi simili alle piante, con una forma di accrescimento basata sulle stesse linee generali, anche questi presenterebbero la numerologia di Fibonacci. I numeri di Fibonacci non sono accidentali, ma sono conseguenze della geometria universale, detta ‘cristallografia’ della struttura delle piante. In effetti le piante non possono evitare la numerologia di Fibonacci, nello stesso modo in cui i cristalli di sale non possono evitare di essere cubici”.
Regno animale –
Nel regno animale, la conchiglia del Nautilus Pompilius ha una forma che richiama la spirale aurea. Il Nautilus è un mollusco diffuso principalmente nell’Oceano Pacifico occidentale e nell’Oceano Indiano. Nella struttura della conchiglia del Nautilus, si può riconoscere la presenza della sezione aurea. Gli archi successivi della spirale aurea riproducono la forma con cui il Nautilus, crescendo ingrandisce la propria conchiglia. Il rapporto tra una spira del Nautilus e quella successiva è uguale al rapporto tra due numeri successivi di Fibonacci, che è il numero aureo. Nel campo della geometria, se si disegna un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e un altro rettangolo, simile a quello grande nel senso che anche i suoi lati stanno fra loro nel rapporto aureo. A questo punto il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via. La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie e nella disposizione dei semi del girasole e delle foglie su un ramo.